Справочный материал по математике за курс начальной школы

Справочный материал по математике 

за курс начальной школы.

Числа. Чтение, сравнение

1.     Цифры – это знаки, при помощи которых записываются числа. Существует всего 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2.     Числа, которые применяются при счёте, называются натуральными. Ряд натуральных чисел можно продолжать бесконечно. Не существует наибольшего натурального числа.

3.     Число 0 (нуль) не является натуральным числом.

4.     Наименьшее натуральное число – 1 (единица).

5.     Нуль и все натуральные числа, называются целыми неотрицательными числами.

6.     Числа бывают однозначные (1,2,3,4,5,6,7,8,9), двузначные (10,11,12,… … 97,98,99), многозначные 9трёх - , четырёх - , пяти - , шести и так далее).

7.     При записи чисел значение цифры зависит от её места. Она может обозначать единицы, десятки, сотни и т.д. Это десятичная система счисления.

8.     Для чтения многозначных чисел их делят, начиная справа по 3 цифры. Эти тройки цифр называются классами.

3 класс - миллионов			2 класс - тысяч			1 класс единиц
сотни мил-лионов	десят-ки мил-лионов	едини-цы мил-лионов	сотни тысяч	десят-ки тысяч	едини-цы тысяч	сотни	десят-ки	едини-цы
9 разряд	8 разряд	7 разряд	6 разряд	5 разряд	4 разряд	3 разряд	2 разряд	1 разряд

9.     Если в числе отсутствует какой-то разряд, то его запись заменяют 0, если отсутствует какой-то класс, то заменяют тремя нулями.

10.                       Запись числа в виде суммы разрядных слагаемых выглядит так: 236591 = 200000+30000+6000+500+90+1

11.                       Если к названию числа добавляют слово «десяток», то для записи числа надо добавить один ноль. 5 дес. – 50. Если к названию числа добавляют слово «сотня», то для записи числа надо добавить два ноля. 5 сот. – 500. Тысяча – три ноля, десятки тысяч – четыре ноля и т.д.

12.                       Сравнение многозначных чисел

a.     можно проводить по занимаемому месту в натуральном ряду.  Например, в ряду чисел 456, 457, 458, 459, 460, 461меньше то, которое стоит левее, больше то, которое стоит правее.

b.     по соответствующим разрядам. Больше число, в котором больше разрядных единиц. (23456 больше 6789). Если количество разрядов равно, то сравнивают, начиная с высших разрядов.

13.                       Помимо десятичной системы счисления существуют другие системы, у которых каждый знак характеризует только одно число. Примером может служить римская система счисления. В ней при записи числа применяются буквы латинского алфавита.
Для записи целых чисел в римской нумерации используются семь основных чисел:

I = 1

V = 5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1000

Примеры записи римских цифр.

1- I

2 – II

3 – III

4 – IV

5 – V

6 – VI

7 – VII

8 – VIII

9 – IX

10 – X

11 – XI

12 – XII

13 – XIII

14 – XIV

15 – XV

16 – XVII

17 – XVII

18 – XVIII

19 – XIX

20 – XX

21 – XXI

 

 

30 – XXX

40 – XL

50 – L

60 – LX

70 – LXX

80 – LXXX

90 – XC

99 - XCIX

100 – C

102 – CII

400 – CD

500 – D

800 - DCCC

900 – CM

Арифметические действия и их свойства.

Сложение

3+5=8

Знак +(плюс), действие- сложение, 3 – первое слагаемое,

5- второе слагаемое, 3+5 - сумма, 8 - значение суммы.

Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.

Вычитание

9-4=5

Знак-(минус), действие - вычитание, 9 - уменьшаемое,

4 - вычитаемое, 9 – 4 - разность, 5- значение разности.

Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.

Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Умножение.

3•5=15

Знак •или  х (умножить), действие- умножение, 3 – первый множитель,5- второй множитель, 3•5 - произведение, 15 - значение произведения.

Если произведение разделить на один множитель, то получится другой множитель.

Деление.

20:4  = 5

Знак (:) - разделить, действие деление.

20 – делимое, 4 – делитель,  20:4  это частное, 20 – значение частного

Если делимое разделить на частное, то получится делитель.

Если частное умножить на делитель, то получится делимое.

1.     Сложение, вычитание, умножение и деление – это арифметические действия. Им соответствуют знаки «+», «-», «▪», «:».

2.     Сложение и вычитание – взаимообратные действия, поэтому сложение проверятся вычитанием, а вычитание проверяется сложением.

3.     Умножение и деление – взаимообратные действия, поэтому умножение проверяется делением, а деление умножением.

4.     Сумму одинаковых слагаемых можно заменить умножением. 8+8+8+8+8+8+8 = 8▪7

5.     Умножение одинаковых множителей можно заменить степенью (Квадрат – 2 и куб – 3) 9▪9 = 9^2,   5▪5▪5 = 5³

6.     Чтобы посчитать чему равен квадрат или куб числа, надо записать его в виде умножения одинаковых множителей.
7² = 7▪7   6³ = 6▪6▪6

Свойства и законы арифметических действий.

1.     Переместительный закон сложения. От перестановки слагаемых, значение суммы не меняется. a + b = b + a

2.     Переместительный закон умножения. От перестановки множителей, значение произведения не меняется a▪b = b▪a

3.     Сочетательный закон сложения. Для того, чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить значение суммы второго и третьего числа. или Два соседних слагаемых можно заменить их суммой.
(a + b) + c = a + (b + c) = b + (a + c)

4.     Сочетательный закон умножения Для того, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на значение произведения первого и третьего числа или Два соседних множителя можно заменить их произведением. (a ▪ b) ▪ c = a ▪ (b ▪ c) = b ▪ (a ▪ c)

5.     Распределительный закон умножения, относительно сложения. Для того, чтобы умножить сумму на число, надо это число умножить на каждое слагаемое, а произведения сложить. (a + b) ▪ c = a ▪ c + b ▪ c

6.     Распределительный закон умножения относительно вычитания. Для того, чтобы умножить разность на число, надо это число умножить на каждое число в скобках и из первого произведения вычесть второе. (a - b) ▪ c = a ▪ c - b ▪ c

7.     Вынос числа за скобки. Используя распределительное свойство умножения, можно вынести общий множитель за скобки.a ▪ c + b ▪ c = c ▪ (a + b)  или .a ▪ c - b ▪ c = c ▪ (a - b)

Свойства арифметических действий.

Свойства  0 (нуля)

1.     Если числу прибавить или из числа вычесть ноль, то получится тоже самое число.

2.     Если вычесть число из такого же числа, то получится 0

3.     Если любое число умножить на 0, то получится 0

4.     Если 0 разделить на любое число, то получится 0

5.     Делить на 0 – нельзя!

Свойства 1 (единицы)

1.     Прибавить к числу единицу – значит назвать следующее число (последующее)

2.     Вычесть из числа единицу – значит назвать предыдущее число.

3.     Если число умножить или разделить на единицу, то получится то же самое число.

4.     Если число разделить на само себя, то получится единица.

Действия над числами.

1.     При сложении и вычитании многозначных чисел, а так же при записи столбиком, необходимо единицы писать под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д. и складывать или вычитать  единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями и т.д.

2.     Все вычисления начинаются с единиц.

3.     Если при сложении какого-либо разряда получается двузначное число, то в результат записывают единицы этого числа, а десятки переходят в следующий разряд.

4.     Если при вычитании недостаточно единиц какого-либо разряда, то занимаем в большем разряде.

5.     Если многозначные числа оканчиваются нулями, то при записи столбиком примеров на умножение, нули не учитываются. После выполнения вычислений их все дописывают в конце результата.

6.     Если при делении делимое меньше делителя, то частное равно 0, а делитель переходит в остаток.

7.     При делении с остатком остаток должен быть меньше делителя.

Выражения.

Выражения бывают числовые и буквенные.

1.     Числовые выражения записываются с помощью чисел, знаков действий и скобок. Чтобы найти значение выражения, достаточно выполнить указанные действия.

2.     Буквенные выражения записываются с помощью букв, чисел, знаков действий и скобок. Для того, чтобы найти значение буквенного выражения, необходимо подставить в выражение числовое значение буквы, а затем выполнить необходимые действия.

3.     Для правильного чтения выражения определяют действие, которое должно быть выполнено последним. В выражении 45 + 56 : 8, последним выполняют сложение. Поэтому читают так: «Сумма числа 45 и частного 56 и 8»

4.     При вычислении буквенного выражения, если это возможно, сначала упрощают выражение, применяя переместительные, сочетательные и распределительный законы.

Равенства и неравенства.

1.     Если между числами или выражениями стоит знак =, то это равенства.

2.     Если между числами или выражениями стоят знаки<или>, то это неравенства.

3.     Равенства и неравенства могут быть верными или неверными.

Порядок действий.

Если в примере встречаются два и более арифметических действия, то их выполнение проводят в следующем порядке:

1.Выполняется действие в скобках.

2.Выполняется возведение в степень (квадрат или куб)

3.Выполняются по порядку умножение или деление

4.Выполняются по порядку сложение или вычитание.

Определение времени по часам.

Минутная стрелка.

Число на циферблате	Количество минут	Как прочитать
1	5	Пять минут  (какого?)
2	10	Десять минут (какого?)
3	15	Пятнадцать минут (какого?)
4	20	Двадцать минут (какого?)
5	25	Двадцать пять минут (какого?)
6	30	Половина  (какого?)
7	35	Без 25 минут (сколько?)
8	40	Без 20 минут (сколько?)
9	45	Без 15 минут (сколько?)
10	50	Без 10 минут (сколько?)
11	55	Без 5 минут (сколько?)
12	60	Ровно  (сколько?)

ЭТО НАДО ЗНАТЬ НАИЗУСТЬ !!!

Таблица №1

1+1=2
2+1=3
3+1=4	2+2=4
4+1=5	3+2=5
5+1=6	4+2=6	3+3=6
6+1=7	5+2=7	4+3=7
7+1=8	6+2=8	5+3=8	4+4=8
8+1=9	7+2=9	6+3=9	5+4=9
9+1=10	8+2=10	7+3=10	6+4=10	5+5=10

Таблица №2

	2+9=11	3+8=11	4+7=11	5+6=11
	3+9=12	4+8=12	5+7=12	6+6=12
	4+9=13	5+8=13	6+7=13
	5+9=14	6+8=14	7+7=14
	6+9=15	7+8=15
	7+9=16	8+8=16
	8+9=17
	9+9=18

Таблица №3

2∙2=4
3∙2=6	3∙3=9					9∙9 = 81
4∙2=8	4∙3=12	4∙4=16
5∙2=10	5∙3=15	5∙4=20	5∙5=25
6∙2=12	6∙3=18	6∙4=24	6∙5=30	6∙6=36
7∙2=14	7∙3=21	7∙4=28	7∙5=35	7∙6=42	7∙7=49
8∙2=16	8∙3=24	8∙4=32	8∙5=40	8∙6=48	8∙7 =56	8∙8=64
9∙2=18	9∙3=27	9∙4=36	9∙5=45	9∙6=54	9∙7 =63	8∙9 = 72

Уравнения и способы их решения.

1.     Уравнение – это равенство с неизвестным компонентом действия. Решить уравнение – значит найти значение буквы, при котором данное равенство становиться верным.

Уравнения на «+»

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Все уравнения на «плюс» решаются обратным действием «минусом»

Уравнения на «▪»

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. Все уравнения на «умножение»  решаются обратным действием «делением»

Уравнения на «-»

1.     Чтобы найти неизвестное уменьшаемое (стоит на первом месте), надо к разности прибавить вычитаемое. Если в уравнении на вычитание неизвестное число стоит на первом месте, то уравнение решается обратным действием – сложением.

2.     Чтобы найти неизвестное вычитаемое (стоит на втором месте) надо из уменьшаемого вычесть значение разности. Если в уравнении на вычитание неизвестное число стоит на втором месте, то уравнение решается прямым действием - вычитанием.

Уравнение на «:»

1.     Чтобы найти неизвестное делимое (стоит на первом месте), надо делитель умножить на значение частного. Если в уравнении на деление неизвестное число стоит на первом месте, то уравнение решается обратным действием – умножением.

2.     Чтобы найти неизвестный делитель (стоит на втором месте) надо делимое разделить на значение частного. Если в уравнении на деление неизвестное число стоит на втором месте, то уравнение решается прямым действием - делением.

3.     Все простые уравнения решаются с использованием данных правил.

4.     Чтобы решить сложное уравнение. его надо привести к простому, а затем решить. Для этого надо определить порядок действий в уравнении.

a.     Если можно выполнить первое действие, то выполняем его, тем самым упрощаем уравнение.

b.     Если первое действие выполнить нельзя, то переписываем его вниз, и решаем уравнение, принимая все первое действие за «Х»

5.     После решения уравнения делаем проверку. Для этого переписываем первое уравнение, подставляя вместо «Х» найденное значение.

Величины и их измерения.

Единицы времени.

Секунда – с

Минута – мин

Час – ч

Сутки – сут

Неделя - нед

Месяц – мес.

Год (лет) – год (л)

Век – век

1мин – 60 с

1ч – 60 мин

1 сут = 24 ч

1 нед = 7 сут

1 год = 365(366)сут

1 век = 100 л

1 мес = 31сут, 30 сут 28 или 29 сут (февраль)

Январь - 31

Февраль – 28(29)

Март - 31

Апрель - 30

Май - 31

Июнь - 30

Июль - 31

Август - 31

Сентябрь - 30

Октябрь - 31

Ноябрь - 30

Декабрь - 31

Дни недели: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

1.Для того, чтобы перевести из большей величины в меньшую, надо значение большей умножить на соотношение между ними. Например 1 час = 60минут. 7чсасов = 7 ∙60 = 420 минут.

2.Для того, чтобы перевести из меньшей величины в большую, надо меньшую величину разделить на соотношение между ними. Например. 1 сут – 24 часа. Тогда 48ч = 48 :24 = 2 сут.

Единицы длины.

Миллиметр - мм,

сантиметр - см,

дециметр - дм, 

метр - м,

километр - км.

1см = 10мм

1дм = 10см = 100мм

1м = 10дм = 100см = 1 000мм

1км = 1 000м = 10 000дм = 100 000см = 1000 000мм

Единицы массы

Грамм – г

Килограмм – кг

Центнер – ц

Тонна – т

1 кг = 1 000г

1 ц = 100 кг = 100 000 г

1 т = 10 ц = 1000 кг = 1000 000г

Единицы площади

1см² = 100мм²

1дм² = 100см² = 10000мм²

1м² = 100дм² = 10000см² = 1000000мм²

1км² = 1 000000м²

1а(ар) = 100м²

1га(гектар) = 10000м²

1 га = 100а

Единицы объёма

1см³ = 1000мм³

1дм³= 1000см³ = 1000000мм³

1м³ = 1000дм³ = 1000000см³

1 км³ = 1000000000м³

Если перевод их одних величин в другие идет по стрелочке вперёд, то мы добавляем нужное количество нулей, если в обратном направлении, то убираем нужное количество нулей. Например, 1 км = 1000м, тогда 4 км = 4000м. и 56000м= 56 км.

Чтобы найти долю меньшей величины в большей, надо посмотреть на соотношение между ними.
Если 1см = 10мм, то 1мм = десятая часть см.
Если 1ц = 100кг, то 1 кг – сотая часть центнера.
Если 1км = 1000м, то 1м – тысячная часть км

Если 1т = 1000000г, то 1г – миллионная часть тонны.

Решение задач.

Для того, чтобы текст был задачей, в нем должны быть: условие, вопрос, решение, ответ.

Решение простых задач по вопросу

Вид решения	решение
Вопрос «Сколько всего?» записывается в условии «уголком».	Плюс(+)
Вопрос «Сколько осталось?» записывается в условии !Ост-?».	Минус(-)
Вопрос « На сколько меньше?» или «На сколько больше?» записывается в условии стрелочкой. Это задачи на сравнения.	От большего числа отнимаем меньшее
Вопрос « Во сколько меньше?» или «Во сколько больше?» записывается в условии стрелочкой. Это задачи на сравнения.	Большее число делим на меньшее

По условию с прямым сравнением

Условие	решение
Если в условие сказано «на больше»	Плюс(+)
Если в условие сказано «на меньше»	Минус(-)
Если в условие сказано «в ... раз больше»	Умножить (•)
Если в условие сказано «в  ... раз меньше»	Разделить (:)

По условию с косвенным сравнением

Если в условии сказано …	решение
«это или что на больше»	Минус(-)
«это ил что на меньше»	Плюс(+)
«это или что в ... раз больше»	Разделить (:)
«это или что в  ... раз меньше»	Умножить (•)

Решение задач, с записью условия в таблице.

Цена (за 1 предмет)	Количество	Стоимость (Всего)	Решение
?			Цена=стоимость:количество
	?		Количество=стоимость:цену
		?	Стоимость = цена количесво

Решение задач, с записью условия в таблице.

Скорость (V)	Время (t)	Расстояние (S)	Решение
?			v =S  t
	?		t = S :v
		?	S  = v  t

Правило треугольника.

Составные задачи.

1.  Прочитай задачу, запиши краткое условие и вопрос задачи.

2.  Можем  мы ответить на вопрос задачи? Почему? Что надо найти первым действием? Запиши и реши.

3.  Прочитай ещё раз вопрос задачи. Можем мы теперь ответить на него? Каким будет второе действие? Запиши, реши.

4.  Прочитай вопрос задачи. Каким будет ответ? Запиши его.

Памятка по решению задач на движение.

Одновременное встречное движение.

 

Нахождение общего расстояния 
1 способ 1.находим S_{1 =} V_1·• t
                         2. находим S_{2 =} V_{2 ·•} t
                3. находим S_{общее =} S₁  + S₂

2 способ  1. находим V_{сближения} = V₁ + V₂
                 2. находим S_{общее =} V_{сближения ·•} t

Нахождение одной из скоростей.
1 способ.   1. находим S_{1 =} V_1·• t
                  2. находим  S_{2 =}  S_{общее –} S₁
                            3. находим V₂ = S₂ : t

             2 способ. 1. находим V_{сближения} = S_общее : t
                                           2. находим V₂ = V_{сближения}  – V₁

Нахождение времени.
  1 способ   1.находим V_{сближения} = V₁ + V₂
                    2. находим  t = S_общее : V_{сближения}
Аналогично решаем задачи на движение в противоположных направлениях.

Решение задач на движение вдогонку.

Нахождение времени, через которое один объект догонит другой.
                    1.находим V_{приближения} = V₁ - V₂
                    2. находим  t = S : V_{приближения}
Нахождение расстояния, которое было между объектами перед началом движения.

                1. находим V_{приближения} = V₁ - V₂
                 2. находим S ₌ V_{приближения ·•} t

Обратные задачи.

Задачи называются обратными, если то, что было неизвестно по условию в первой задаче, становится известным во второй.

А то, что было известным в первой задаче, становится неизвестным во второй. Решениями этих задач являются обратные друг другу примеры.

Геометрический материал.

Прямая линия (нет ни начала, ни конца)

Луч (есть начало, нет конца)

Отрезок (есть начало и есть конец)

Прямые линии могут быть параллельными (не пересекаются), пересекающимися, перпендикулярными (при пересечении все углы прямые)

Углы.

Прямой             Острый                       Тупой            Развёрнутый

Острый угол меньше прямого, тупой угол больше прямого.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны.

Нахождение периметра.

                                                            4 угла,

                                                              4 вершины,

                                                               4  стороны

1.     Р = а +b +а +b

2.     Р = 2 ·а + 2 · b

3.     Р = (а + b) ·2

Нахождение стороны  по периметру и другой стороне.

а = (Р – b – b) : 2  или  b = (Р – a – a) : 2 или Р:2 – а

Например.  Р = 24см, а = 7 см. Найти в.   в =  24:2 – 7 = 5 см

Нахождение площади   S = a ∙ b

Нахождение стороны прямоугольника по площади и известной стороне.  a = S :b или b = S:a

Нахождение площади по известному периметру и стороне.

Сначала надо найти  вторую сторону, затем по формуле площадь.

Нахождение периметра по известной площади.

Сначала надо найти сторону, затем площадь.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

                         4 угла,                           S = a ∙ a = a²

                         4 вершины,                    P = a+a+a+a  

                         4 стороны.                      P = 4 ∙ a

Нахождение стороны квадрата по известному периметру.

 Если  P = 4 ∙ a, то а = Р : 4 (Чтобы найти сторону, надо периметр разделить на 4)

Нахождение стороны квадрата по известной площади.

Чтобы найти сторону квадрата по известной площади, надо подобрать произведение равных множителей, значение которого равно значению площади.

1 = 1 ∙ 1

4 = 2 ∙ 2

9 = 3 ∙ 3

16 = 4 ∙ 4

25 = 5 ∙ 5

36 = 6 ∙ 6

49 = 7 ∙ 7

64 = 8  ∙ 8

81 = 9 ∙ 9

100 = 10 ∙ 10

121 = 11 ∙ 11

400 = 20 ∙ 20

8100 = 90 ∙ 90

и так далее

     Нахождение площади, если известен периметр квадрата.

1.     Надо найти сторону квадрата. а = Р : 4

2.     Найти площадь S = a ∙ а

Треугольник

3 угла

3 вершины

3 стороны

                   Периметр равен сумме трёх сторон.

Круг и окружность.

                           Окружность  имеет длину.

                              Круг имеет площадь

Центр окружности или круга

Радиус окружности или круга – 

Диаметр окружности или круга -

Чтобы определить полное количество десятков в числе, надо зачеркнуть последний знак (единицы).

В числе 6758 – 675 десятков.

Чтобы определить количество сотен, надо зачеркнуть два знака

6758 – 67 сотен